فاصلهٔ اطمینان ۹۰٪ رو اشتباه حساب نکن
خلاصهٔ کاملتر
ویلیام سیلی گاسِت آماردان گینس بود؛ اونقدر روی کیفیت آبجو کار کرد که وقتی آمارِ موجود جواب نداد، آمار جدید ساخت. گینس نمیخواست این سلاح مخفی لو بره، برای همین مجبورش کرد نتایجش رو با نام مستعار Student چاپ کنه — و اسم «توزیع t استیودنت» از همینجا اومده.
یکی از چیزهایی که گاسِت فهمید این بود: اگه بازهٔ اطمینان ۹۰٪ میانگین رو با ضرب ۱٫۶۴۵ در انحراف معیار نمونه حساب کنی، بازهای که در میاد خیلی باریکه. دلیلش اینه که ما قبول داریم میانگین فقط یه تخمینه، ولی ناخودآگاه فرض میکنیم انحراف معیار رو با قطعیت میدونیم — در حالی که اونم از همون چندتا نمونه در اومده.
راهحل، یه ضریب اصلاح بر اساس تعداد نمونههاست: ۲ نمونه ۴ برابر، ۳ نمونه ۲ برابر، ۴ نمونه ۱٫۵ برابر، ۵ نمونه ۱٫۳ برابر، ۶ تا ۸ نمونه ۱٫۲ برابر و ۹ تا ۲۰ نمونه ۱٫۱ برابر. کافیه انحراف معیار رو اول تو این ضریب و بعد تو ۱٫۶۴۵ ضرب کنی. بالای ۲۰ نمونه، تخمین سادهٔ انحراف معیار برای بازهٔ ۹۰٪ کافیه. نویسنده تأکید میکنه این جدول فقط برای بازهٔ ۹۰٪ نوشته شده و بازههای ۹۵٪ و ۹۹٪ بعد از اصلاح خیلی پهنتر میشن.
بخش کاربردیتر ماجرا اینه که با فقط دو عدد هم میشه یه تخمین سرانگشتی از پراکندگی گرفت: فاصلهٔ دو عدد رو تو ۱٫۳ ضرب کن، جواب تقریباً همون انحراف معیاره. مثال خود نویسنده: یکی میپرسه «۴۹ لیتر نتیجهٔ خوبیه؟» و دو نتیجهٔ معمول ۴۳ و ۴۷ رو میده. فاصلهشون میشه ۴ و ضربدر ۱٫۳ که بشه، حدود ۵ لیتر انحراف معیار در میاد. پس ۴۹ کمتر از یک انحراف معیار از میانگین ۴۵ فاصله داره؛ یعنی یه نتیجهٔ کاملاً معمولی، نه خوب نه بد.
نکات کلیدی:
- بازهٔ اطمینان با فرض نرمال و انحراف معیار نمونه، همیشه باریکتر از واقعیته
- ضریب اصلاح به تعداد نمونه بستگی داره: از ۴ برابر برای ۲ نمونه تا ۱٫۱ برابر برای ۹ تا ۲۰ نمونه
- بالای ۲۰ نمونه، تخمین ساده برای بازهٔ ۹۰٪ کافیه
- با دو عدد: فاصلهشون ضربدر ۱٫۳ تقریباً میشه انحراف معیار
- بازههای ۹۵٪ و ۹۹٪ بعد از اصلاح t خیلی پهنتر میشن
